** Ambre Chabert (ENS Paris)**

** Théorie spectrale $L^p$ sur les surfaces complètement intégrables : l'exemple du disque euclidien **

**Résumé.** Dans cet exposé, j'introduirai le problème d'estimées spectrales L^p pour une surface riemannienne compacte, et j'expliquerai comment le voir comme mesure de la répartition asymptotique de la masse des fonctions propres. Précisément, étant donnée une surface riemannienne lisse compacte $\Sigma$, et $\phi_{\lambda}$ une fonction propre du Laplacien normalisée dans $L^2$ de valeur propre $-\lambda^2$, ou un quasimode,, on se demande comment sa norme $L^p$ peut grandir avec la valeur propre $\lambda$, pour $p$ entre $2$ et $+\infty$ fixé. Après avoir rappelé les résultats fondateurs de Sogge, j'expliquerai comment le contrôle pour $p$ proche de $+\infty$ estime la concentration ponctuelle maximale, tandis que le contrôle des petites valeurs de $p$ mesure la concentration le long d'une géodésique.

Je présenterai ensuite le cas du disque euclidien comme modèle du cas complétement intégrable générique, pour lequel on s’attend à pouvoir améliorer polynomialement les estimées de Sogge. Ainsi, la base de modes propres donnés à partir des fonctions de Bessel modèle une base de quasimodes concentrés sur des tores lagrangiens. Je montrerai ensuite comment cette décomposition permet d'améliorer les estimées dans les deux régimes de concentration, pour $p=4$ et $p = +\infty$.